[ 信息发布:本站 | 发布时间:2016-06-23 | 浏览:436次 ]

范存丽　北京教科院基教研中心
陈凤伟　北京市东城区史家小学

《国家数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维”，并且在内容标准中多处阐述了培养学生数感的问题。

一、如何理解数感

学语言有语感，学音乐有乐感，学生学数学也要有数感。

所谓“数感”，狭义地讲就是对数学的感觉、感受乃至感情。从数学教育心理学的角度看，具体地表现在对日常生活中的数和运算有敏锐的感受力，有意识地从数学的角度去观察、解释和表示客观事物的数量关系、数据特征和空间形式，善于捕捉一般问题中潜在的数学特征。广义地讲是指学生对数值的一种直觉，对数的近似值的一种估计；是在一定情境中对数学概念的直接反映。

数感说到底是一种心智技能，如果说动作技能主要靠肌肉运动，表现于外部行动，那么心智技能主要是意识活动，它存在于人的头脑之中，有良好数感的人在需要数感发挥作用的时候，它便会自然出现，仿佛不需要人有意识地探索一般。

形成数感的过程也是学会数学地思考的过程。美国学者格劳斯（Grouws）认为，学会数学地思考就是形成数学化和抽象化的数学观点，运用数学进行预测的能力，以及运用数学工具解决现实问题的能力。

课程标准中描述了数感的主要表现，包括理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。

二、教学中加强数感的培养

培养学生的数感，就是要加强学生在数方面的数学思考力，让学生遇到实际问题时能自觉地运用数的相关知识及思考问题的数学方法分析问题、解决问题。

首先要让学生看到数，其次是要学生用到数。

1.让学生看到数

让学生看到数，而且要让学生真切地看到数。为了把数看得更清晰而更真切。

对于数的大小，不能只是抽象地看，可以借助直观方式让学生看到数的大小。数在量中，看数的大小。在数概念教学中重视数感的培养。为学生提供充分的可感知的现实背景，才能使学生真正理解数概念。

（1）让学生学会带着量看数

学生在认识数的过程中更多地接触和经历有关的情境和实例，从而认识到数也有一个从具体到抽象的过程，使得学生对数概念有具体、深刻的理解，从而帮助学生建立数感。教师在教学中可以尝试创设有利的现实情境，让学生体验数概念。例如，在教学面积单位、长度单位时，可以带学生去操场走走、测测、量量，让学生感受50米、100米、400米的长度，1平方米、1公顷、1亩的大小，让学生发现自己身边物体的长度和面积，如手指盖的大小、臂长、一拓的长度等；教学质量单位时，可以到食堂去看看、称称、估估各类蔬菜、肉类的重量，或去医务室称称自己的体重等。

再如3比5小，不是只让学生知道结果，可以让学生感受到两个数的大小。让数在量中。如3个苹果比5个苹果少，5本书比3本书多。让学生自己感受3比5小，且在潜意识中知道3比5小多少。

（2）学生在对应中感受数的大小

将数的大小对应到可见之处。如学习数时，可以让学生看到数越大

气温越高，天气越热。数的高度越大，数越高。数越大，表示数的颜色越深。

让学生通过看到数的高矮看数的大小，通过看数的颜色深浅看数的大小，通过看长短看数的大小。

（3）从大处着眼，看到数量级

让学生会数学地思考，不是仅仅要让学生急着算出数来。学生要学会从大处着眼，对问题先有整体判断，知道大概是哪个数量级的，不急着精确。仅求精确会使数学窄化。

①感知数量级

在教学中教师让学生感知数量级的重要。可以通过一些题目让学生尝试。如：二年级学生学习生活中的大数时让学生填一填计数单位，填一填对生活中数量的感知（北师大版数学伴你成长）。

②感知数量级的变化

加或减带来数的大小变化，乘或除更快地带来数量级的变化，小数点移动会直接带来数量级的变化，成整10、100、1000…倍数地变大或变小。

（4）关注有意义地近似

①四舍五入。根据实际问题进行近似。比如大件商品与小件商品计价时近似的程度有很大不同。

《九章算术》里也采用“四舍五入”的方法，在用比例法求各县应出的车辆时，因为车辆是整数，他们就采用四舍五入的方法对演算结果加以处理。

公元604年的“皇极历”出现后，四舍五入的表示法更加精确：“半以上为时，以下为退，退以配前为强，进以配后为弱，”在“皇极历”中，求近似值如果进一位或退一位，一般在这个数字后面写个“强”或“弱”字，意思就表明它比所记的这个数字多或不足，这种四舍五入法，完全和现在的相同…..

②取整。根据实际问题，加一或减一。如19人要过河，每条船最多可以乘4人，至少需要几条船？怎样乘船才合理？学生在探索实际问题的过程中，会切实了解计算的意义和运用计算的结果。

2.让学生看到数的关系

数数间有确定关系，也有随机关系。数在量中，就成了数据。

（1）数数关系。

单纯从数与数来看，两个数或几个数之间有大小关系，相等或不相等。按照大小关系将不相等的数排列起来，可以更清晰地将数的大小关系呈现出来。将大小关系刻画地更清楚，还可以看到一些数数之间还有特殊的关系，如倍数关系。如果说比较大小是与加减运算相关的关系，则倍数是与乘除运算相关的关系。而实际生活中有很多关系是借助乘除与加减运算共同刻画的，如我比你的3倍还多

2.可以通过让学生直观看到的方式进行教学。

除了一些并列的数进行比较时有大小、倍数、基于倍数的差等关系。还有加、减、乘、除运算中各部分间的关系。相应地有运算的性质。在教学中也可以通过变得更直观的方式进行教学。如有余数除法中，余数比除数小，学生就可以通过看到分物品的过程进行体会。

（2）数量关系。

生活中无处不在数量关系。教材中从传统的13种数量关系到现在不区分这些种类的解决问题。让学生把数量关系直观画出来，用加减乘除运算来解决。

（3）量量关系。

将数量关系进一步抽象，从算术向代数迈进，用字母表示数量关系。

（4）随机关系

生活中广泛存在的随机现象中蕴含的随机关系。

3.看数及关系的角度

（1）分类看数

①自然数：表示物体个数的基数和表示顺序的序数。

②小数：十进分数。

自然数和小数用十进位值制的计数方法表示。

在小学阶段，十进位值制的认识共设置5次：

20以内数的认识 按群计数，认识到10个一是1个十。

100以内数的认识 认识到10个一是1个十，10个十是1个百，同样的数字在不同数位上表示的数是不同的。

万以内数的认识 认识计数单位，体会相邻计数单位之间的十进关系。

多位数的认识 整体认识自然数的计数方法——计数单位、相邻计数单位之间的十进关系、数级。

小数的认识 认识小数的计数方法——计数单位、相邻计数单位之间的十进关系。

分数的计数单位不仅仅与10、100、1000等十进制计数单位相关，而百分数在分数与小数之间架起了桥梁。

十进位值制在数的部分是一个很核心的概念。让学生学会计数的过程中感受十进位值制的伟大之处。在教学中可以运用多种方式让学生了解、理解。

如，《11-20数的认识》教学中用人数来体现位置有不同，每张卡片上只有1个数字，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。教师说数，学生出卡片。当教师说的数是一位数时，只有1张卡片出列。这时，教师突然说出了10，学生们有片刻的犹疑，之后很开心地想出办法，请2张卡片出列。通过这样一个矛盾冲突，学生认识到借助两个数字可以表示出更大的数。而且12和21是不同的，1、2的位置不同会带来数的大小不同，学生体会位置对数的大小的影响。

《会说话的小珠子》（北京市朝阳实验小学王彦燕老师执教）教学中，用不同位置数字组合后数的大小不同体现位置不同带来的变化。

有一位老师在教学中，问学生，你会用5颗珠子表示其他的数吗？

在乘法（丰台区时光小学林跃庆老师说课）教学中，教师将竖式写入数位表。

还可以尝试用不同的符号表示不同计数单位，让学生体会计数单位的个数在进行运算。

③分数：体现部分与整体的关系。

分数是从分份开始的，平均分份，计数单位有了变化，计数单位除了一、十、百、千…，还有比一小的计数单位，十分之一、百分之一、千分之一

除了十进制的单位，还有更自由的单位，二分之一、三分之一、三十五分之一…。

分数单位是由自然分份带来的。小数和自然数由着十进制在同一体系内存在。百分数是分数和小数之间的桥梁。

《分数的初步认识》一课中，

《分数的再认识》一课中，有的老师关注一些符号的运用，如集合圈和小竖线来凸显分数的意义。

④负数：正数和负数可以表示相反意义的量。

负数是相对正数而出现的，和正数关联着来学习。体现相反意义的量。

教学中可以找到生活中具有相反意义的量，让学生去理解，而且用正数和负数来表示时会突出引入负数的意义。如赵震老师执教的《认识负数》一课中，通过一组组具有相反意义的量引出负数，切中要害。

案例描述：

师：同学们，每天我们都要和数打交道，你们对学过的数熟悉吗？那现在我说几件事，你能把听到的数据信息准确地记录下来吗？（没问题。）

师：独立思考，选择自己喜欢的方式来记录，关键是让别人一眼就能看明白你所表示的意思。

（师叙述事件，学生填写记录单。）

1.足球比赛，中国国家队上半场进了2个球，下半场丢了2个球。

2.学校四年级共转来25名新同学，五年级转走了10名同学。

3.张阿姨做生意，三月份赚了6000元，四月份亏了2000元。

足球比赛 转学情况 帐目结算

上半场 个 四年级 人 三月份 元

下半场 个 五年级 人 四月份 元

（学生记录中大致产生了如下4种情况）

在互动交流的过程中，学生认识到具有相反意义的量可以借助文字或符号来表示，认识到用负号来表示负数是很简单而且大家都能明白的统一符号。

（2）在圈外看数

山外看山，更易观到山之全貌。圈外看数，更易看到数的特性。

如史家小学刘颖老师教学与倍数相关的除法时，教师在教学中混进需要用加法或减法解决的实际问题。教师给出信息，小明跳绳25个，小军跳绳56个，小芳跳绳8个，小红跳绳64个。让学生提问题，不仅有小军跳的是小芳的几倍这样的本节课涉及的倍数除法问题，还鼓励学生提出小军比小芳多跳了几下这样的减法解决的问题。避免学生一味地照葫芦画瓢，增强学生灵活应用的意识。

（3）看到整体

从圈外进入圈内看数，看数时看有大致感觉。看到数量级，看到一群数据所传递出的总体情况。

（4）排序看数

排序看数，有了顺序，也就心中有数。一组看得到的数放在一起，而且是按顺序放在一起，会让学生看得很清晰。

· 将几组数排序更容易发现统一规律。

如《三角形边的关系》教学中，教师让学生用纸条围三角形，学生汇报后教师把能围成三角形的三个纸条的长度记录在黑板上。多组数杂乱地放在那里，学生不容易发现两边之和大于第三边的规律。而学生有排序试试看的想法后，把每组数据排序，再结合学生的操作过程中对道理感知而来的直观猜测，学生更容易发现规律。

②借助数轴、方格纸等基本数学工具将数排序。如教学分数时，通过直观呈现分数墙，学生会感受到二分之一、三分之一…的大小差异。

（5）一组一组地看数

将很多数分组来看，可以使复杂的事情变得更简单。如让学生写出32的所有因数，按顺序一对一对地写更容易写全。再如让学生写出由2、0、7、8四个数字能组成的四位数，学生按顺序一组一组地写更容易写得不重不漏。

再如数轴上跳8格1个单位，让学生把每个8看成1个单位，会使问题更简单。探索规律教学中，一个规律是一组，比如红、黄、蓝循环出现，则红、黄、蓝为一组，相当于循环小数中的一个循环节。让学生找到一组，学生也就找到了规律。

（6）看清开头之处

凡事开头难。让学生知道什么是“1”，什么是“2”，他们才更清楚自己的“几”是否正确。如植树问题的教学中，切木头，切1刀后木头成2段；切2刀木头则成3段。开头的地方明白了，更容易后面进行抽象。在平移教学中，学生如果明白了什么叫平移了1格，再多几个格他们也就无所谓了。

（7）在沟通中看数

学生是带着以往的数学学习经验和比较丰富的生活经验进入课堂的；学生更容易理解直观形象的数学；不同的学生有不同的经验。在教学中将学生多种多样的理解问题方法、解决问题方法沟通起来，会使学生的数学更简单。如学习除法竖式时，对学生而言，竖式是很抽象的，分小棒是很简单的。将二者沟通起来进行学习，学生更易理解除法竖式的意义，使得死记硬背的过程变得更有道理、熟悉而简单。

4.让学生在广阔的空间内运用数，提升学生的数感

（1）让学生给数赋予情境

生活中有数，放过来，数就可以在生活中找到。让学生给数赋予情境，促进学生数感的提升。

如学习分数的意义时，给学生两个问题：让学生用1/3或2/5说话；让学生用1/3和2/5说话。学生可以举出各种各样的事例。

再如，每组选择一个各数位数字不同的五位数,创造一个实际情景来使用最大数、最小数和中间数。学生的举出事例很多。

（2）让学生借助经验学习数学

很多数学中的概念、定律等在生活中都有类似现象。可以借助学生的生活经验，借助学生对生活现象的理解来学习。如学习循环小数时，学生可以借助春、夏、秋、冬四个季节的循环往复进行学习。在乘法分配律的教学中，有的老师借助词语的分配来学习，在课前先让学生说我爱爸爸、我爱妈妈，又概括地说我爱爸爸和妈妈。合起来说与分开来说表达了相同的意思。而乘法分配律的内涵正是合起来乘与分开来乘积相等。

（3）让学生形成先有大感觉的习惯

在运算时都可以让学生先估计运算结果大概是多少，计算后再回过头来看一看是否计算结果是否与估算结果相近。

在解决实际问题时，也要让学生看看计算结果是否符合实际，看结果是否有意义。形成习惯，有利于学生把握具体问题的数量级，在遇到很多生活中的问题时，把握得更为准确。

（4）关注学生过程性经验的积累

教师在教学中可以通过体验、估计、选择、运用等活动，让学生体会数。

在数学学习过程中，学生可以积累很多过程性经验。如学生在解决跑步的实际问题中，模拟跑道画图，学生在跑道中标示路程时边标边调整。相信学生调整的经验，标示路程的经验会对学生数感的培养肯定有促进作用。教师可以想办法，关注学生的学习过程，给学生思考的空间，让学生在学习过程中进行数学地思考。

在数感的培养过程中，让学生更多地看到数、思考数、运用数，增强学生把抽象问题变直观的能力、思考的能力、运用数学的能力。我们在思考中前行，让学生能够更好地进行数学地思考。